Функционально графический метод решения уравнений и неравенств. Функционально- графический метод решения уравнений. Задачи для самостоятельного решения
Цель: рассмотреть задачи ЗНО с применением функционально- графических методов на примере показательной функции у = а х, а>0, а1
Задачи урока:
повторить свойство монотонности и ограниченности показательной функции;
повторить алгоритм построения графиков функции с помощью преобразований;
находить множество значений и множество определений функции по виду формулы и с помощью графика;
решать показательные уравнения, неравенства и системы с помощью графиков и свойств функции.
работа с графиками функций, содержащими модуль;
рассмотреть графики сложной функции и их область значений;
1. Вступительное слово учителя. Мотивация изучения данной темы
Слайд 1 Показательная функция. “Функционально - графические методы решения уравнений и неравенств”
Функционально - графический метод основан на использовании графических иллюстраций, применении свойств функции и позволяет решать многие задачи математики.
Слайд 2 Задачи на урок
Сегодня мы рассмотрим задачи ЗНО разных уровней сложности с применением функционально- графических методов на примере показательной функции у = а х, а>о,а1. С помощью графической программы выполним иллюстрации к задачам.
Слайд 3 Почему так важно знать свойства показательной функции?.
По закону показательной функции размножалось бы все живое на Земле, если бы для этого имелись благоприятные условия, т.е. не было естественных врагов и было вдоволь пищи. Доказательство тому – распространение в Австралии кроликов, которых там не было раньше. Достаточно было выпустить пару особей, как через некоторое время их потомство стало национальным бедствием.
В природе, технике и экономике встречаются многочисленные процессы, в ходе которых значение величины меняется в одно и то же число раз, т.е. по закону показательной функции. Эти процессы называются процессами органического роста или органического затухания .
Например, рост бактерий в идеальных условиях соответствует процессу органического роста; радиоактивный распад веществ – процессу органического затухания.
Законам органического роста подчиняется рост вклада в Сберегательном банке, восстановление гемоглобина в крови у донора или раненого, потерявшего много крови.
Приведите свои примеры
Применение в реальной жизни (доза принятия лекарств).
Каждому известно, что таблетки, рекомендуемые врачом для лечения, нужно принимать несколько раз в день, иначе они будут неэффективны. Необходимость повторного введения лекарства для поддержания постоянной его концентрации в крови вызвана происходящим в организме разрушением лекарства. На рисунке показано, как в большинстве случаев изменяется концентрация лекарственных препаратов в крови человека или животного после одноразового введения.Слайд4.
Уменьшение концентрации лекарства может быть аппроксимировано экспонентой, показатель которой содержит время. Очевидно, что скорость разрушения лекарства в организме должна быть пропорциональна интенсивности метаболических процессов.
Известен один трагический случай, который произошел из-за незнания этой зависимости. С научной точки зрения очень интересным для психиатров и нейрофизиологов является препарат ЛСД, вызывающий у нормальных людей своеобразные галлюцинации. Одни исследователи решили изучить реакцию слона на этот препарат. Для этого они взяли количество ЛСД, приводящее в ярость кошек, и умножили его на столько, во сколько раз масса слона больше массы кошки, считая, что доза вводимого препарата должна быть прямо пропорциональна массе животного. Введение такой дозы ЛСД слону привело через 5 минут к его гибели, из чего авторы заключили, что слоны обладают повышенной чувствительностью к этому препарату. Появившаяся позднее в печати рецензия на эту работу назвала ее «слоноподобной ошибкой» авторов эксперимента.
2. Актуализация знаний учащихся.
Что значит изучить функцию? (сформулировать определение, описать свойства, построить график)
Какая функция называется показательной? Приведите пример.
Какие основные свойства показательной функции вы знаете?
Область значения (ограниченность)
область определения
монотонность(условие возрастания убывания)
Слайд 5 . Укажите множество значений функции(по готовому чертежу)
Слайд 6. Назовите условие возрастания убывания функции и соотнесите формулу функции с ее графиком
Слайд 7. По готовому чертежу опишите алгоритм построения графиков функции
б) у=3 x-2 – 2
3.Диагностическая самостоятельная работа (с использованием ПК).
Класс делится на две группы. Основная часть класса выполняют тестовые задания. Сильные учащиеся выполняют более сложные задания.
Самостоятельная работа в программе Power point (для основной части класса по типу тестовых заданий из ЗНО с закрытой формой ответа)
Какая из показательных функций возрастающая?
Найти область определения функции.
Найти область значений функции.
График функции получается из графика показательной функции параллельным переносом вдоль оси… на.. единиц …
По готовому чертежу определите область определения и область значения функции
Определите при каком значении а показательная функция проходит через точку.
На каком рисунке изображен график показательной функции с основанием больше единицы.
Соотнесите график функции с формулой.
Графическое решение какого неравенства приведено на рисунке.
решите графически неравенство(по готовому чертежу)
Самостоятельная работа(для сильной части класса)
Слайд 8. Запишите алгоритм построения графика функции, назовите ее область определения, область значения, промежутки возрастания, убывания.
Слайд 9. Соотнесите формулу функции с ее графиком
Учащиеся проверяют свои ответы, не исправляя ошибки, самомтоятельные работы сдают учителю
Слайд 10 . Ответы к тестовым заданиям
5) Г 6) В 7) Б 8) 1-Г 2-А 3-В 4- Б
9) А 10)(2;+)
Слайд 11 (проверка задания 8)
4. Изучение новой темы. Применение функционально-графического метода для решения уравнений,неравенств, систем, определения области значений сложной функции
Слайд 12. Функционально графический способ решения уравнений
Чтобы решить уравнение вида f(x)=g(x) функционально-графическим методом нужно:
Построить графики функций у=f(x) и y=g(x) в одной системе координат.
Определить координаты точки пересечения графиков данных функций.
Записать ответ.
ЗАДАНИЕ №1 РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ
Слайд13.
Есть ли корень у уравнения и если есть, то положительный он или отрицательный
6 х =1/6
(4/3) х = 4
СЛАЙД 14
5. Выполнение практической работы.
Слайд 15.
Это уравнение возможно решить графическим способом. Учащимся предлагается выполнить задание, а затем ответить на вопрос: “Обязательно ли для решения этого уравнения строить графики функций?”. Ответ: “Функция возрастает на всей области определения, а функция - убывает. Следовательно, графики таких функций имеют не более одной точки пересечения, а значит, уравнение имеет не более одного корня. Подбором находим, что ”.
Решить уравнение:
Слайд 16. .Решение: применяем функциональный метод решения уравнений:
т.к. данная система имеет единственное решение, то методом подбора находим х=1
ЗАДАНИЕ № 2 РЕШЕНИЕ НЕРАВЕНСТВ
Графические методы дают возможность решать неравенства, содержащие разные функции. Для этого после построения графиков функций, стоящих в левой и правой части неравенства и определения абсциссы точки пересечения графиков, необходимо определить промежуток на котором все точки одного из графиков лежат выше(ниже0 точек второго.
Решить неравенство:
а) сos x 1 + 3 x
Слайд 1 8. Решение:
Ответ: ( ; )
Решить графически неравенство.
Слайд19.
(График показательной функции лежит выше функции, записанной в правой части уравнения).
Ответ: х>2. О
.
Oтвет: х>0.
ЗАДАНИЕ №3 Показательная функция содержит знак модуля в показателе степени.
Повторим определение модуля.
(запись на доске)
Слайд 20.
Сделать записи в тетради:
1).
2).
Графическая иллюстрация представлена на слайде.Объяснить, как построены графики.
Слайд 21.
Для решения этого уравнения нужно вспомнить свойство ограниченности показательной функции. Функция принимает значения >
1, а – 1 >
1, поэтому равенство возможно только в том случае, если обе части уравнения одновременно равны 1. Значит, Решая эту систему, находим, что х
= 0.
ЗАДАНИЕ 4.Нахождение области значений сложной функции.
Слайд 22.
Используя умение строить график квадратичной функции, определите последовательно координаты вершины параболы, найдите область значений.
Слайд 23.
, - вершина параболы.
Вопрос: определите характер монотонности функции.
Показательная функция у = 16 t возрастает, так как 16>1 .
Муниципальное общеобразовательное учреждение
Юрьевская основная общеобразовательная школа
Островский район
Муниципальный этап областного методического конкурса
Номинация
Методическое пособие
Тема
Функционально-графический метод решения уравнений и неравенств в школьном курсе алгебры средней школы .
Работу подготовила:
учитель математики
Введение
Анализ школьных учебников
Анализ ЕГЭ
1. Общая теоретическая часть
1.1. Графический метод
1.2. Функциональный метод
2. Решение уравнений и неравенств с использованием свойств входящих
в них функций
2.1. Использование ОДЗ
2.2. Использование ограниченности функций
2.3. Использование монотонности функции
2.4. Использование графиков функций
2.5. Использование свойств четности или нечетности и периодичности функций.
3. Решение уравнений и неравенств
3.1. Решение уравнений
3.2. Решение неравенств
Практикум
Список литературы
Приложение
Введение
Тема моей работы «Функционально-графический метод решения уравнений и неравенств в школьном курсе алгебры средней школы». Одна из главных тем курса алгебры средней школы. Решение уравнений и неравенств играют важную роль в курсе математики средней школы. Школьники начинают знакомиться с неравенствами и уравнениями еще в начальной школе.
Содержание тем «Уравнения» и «Неравенства» постепенно углубляются и расширяются. Так, например, процентное содержание неравенств от всего изучаемого материала в 7 классе составляет 20%, в 8 классе – 25%, в 9 классе – 30%, в 10-11 классах – 35%.
Окончательное изучение неравенств и уравнений происходит в курсе алгебры и начала анализа 10-11 классов. Некоторые ВУЗы включают в экзаменационные билеты уравнения и неравенства, которые часто бывают весьма сложными и требующими разных подходов к решению. В школе один из наиболее трудных разделов школьного курса математики рассматривается только на немногочисленных факультативных занятиях.
В центре внимания этой работы лежит обеспечить более полное раскрытие применения функционально – графического метода к решению уравнений и неравенств в средней школе курса алгебры.
Актуальность данной работы в том, что данная тема входить в ЕГЭ.
Готовя данную работу, я ставила цель, рассмотреть как можно больше типов уравнений и неравенств, решаемых функционально - графическим методом. Также более глубоко изучить данную тему, выявление наиболее рационального решения, быстро приводящего к ответу.
Объект исследования – алгебра 10-11 классов под редакцией и варианты ЕГЭ.
В данной работе рассмотрены часто встречающиеся типы уравнений и неравенств, я надеюсь, что знания, полученные мной в процессе работы, помогут при сдаче школьных экзаменов и при поступлении в ВУЗ. А также может послужить методическим пособием для подготовки школьников к сдаче ЕГЭ.
Анализ школьных учебников
В методической литературе принято все методы, на которых основана школьная линия уравнений и неравенств с 7 по 11 классы , делить на три группы:
üметод разложения на множители;
üметод введения новых переменных;
üфункционально-графический метод.
Рассмотрим третий метод, а именно, использование графиков функций и различных свойств функций.
К применению функционально-графического метода школьников необходимо приучать с самого начала изучения темы «Уравнения».
Решение некоторых задач может быть основано на свойствах монотонности, периодичности, четности или нечетности и т. п. входящих в них функций.
Проанализировав учебники, можно сделать вывод, что данная тема рассматривается только в учебниках математики нового поколения , , , Построение курса в этих учебниках осуществляется на основе приоритетности функционально-графической линии. В остальных учебниках функционально-графический метод решения уравнений и неравенств в отдельную тему не выделен. Использование свойств функции для решения задач упоминается вскользь при изучении других тем. В новых учебниках содержится также достаточное количество заданий этого типа. В учебнике содержатся задания повышенного уровня. Приведена наиболее полная система заданий, систематизированная по каждому свойству функции.
Учебник | «Алгебра и начала анализа 10-11», учебник для общеоб-разовательных учреждений, | , «Алгебра и начала анализа 11», учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) | и др. «Алгебра и начала анализа 11», учебник для общеобразовательных учреждений | и др. «Алгебра и начала анализа 10-11», учебник для общеобразовательных учреждений |
|
Место в курсе | Глава 8 «Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств» (последняя тема курса) | Глава 6 «Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств» (последняя тема курса) | Глава II «Уравнения, неравенства, системы» | Нет отдельно выделенной темы. Но в теме «Решение тригонометрических уравнений и неравенств» формулируется теорема о корне, которая используется в дальнейшем изучении | Нет отдельно выделенной темы |
§ §56 Общие методы решения уравнений и неравенств (, функционально-графический метод: теорема о корне, ограниченность функции) | § §27 Общие методы решения уравнений и неравенств (, функционально-графический метод: теорема о корне, ограниченность функции) | § Уравнения (неравенства)вида ; § §12*Нестадартные методы решения уравнений и неравенств (использование областей существования функций, неотрицательности функций, ограниченности, использование свойств sin и cos, использование производной) | Свойство монотонности функции, четности-нечетности (при выводе формул корней тригонометрических уравнений) | Упоминается свойство монотонности при разборе примера в теме «Показательная функция» |
|
Примеры рассматриваемых уравнений и неравенств | (; | Решить уравнение. Сколько корней, принадлежащих данному промежутку, имеет уравнение? | Решить уравнение |
Анализ ЕГЭ (текстов и результатов)
Единый государственный экзамен как форма аттестации, которая введена в практику российского образования в 2002 году, с 2009 года переходит из экспериментального в штатный режим.
Анализ текстов ЕГЭ показал, что задания, при решении которых используются свойства функций, встречаются каждый год.
В 2003 году в заданиях А9 и С2 при решении можно применить свойства функций:
· А9. Укажите промежуток, которому принадлежат корни уравнения .
· С2. Найдите все значения p , при которых уравнение не имеет корней.
· В 2004 году – задание В2. Сколько корней имеет уравнение .
· В 2005 году задание С2 (решите уравнение ) выполнили 37% учащихся.
В 2007 при выполнении задания "Решите уравнение" в части В выпускники при решении уравнения рассматривали два случая, привычно раскрывая знак модуля..gif" width="81" height="24"> принимает только положительные значения.
Даже хорошо подготовленные учащиеся часто выполняют задания, используя "шаблонные" методы решения, которые приводят к громоздким преобразованиям и вычислениям.
Очевидно, что при выполнении приведенных выше заданий хорошо подготовленный выпускник должен был показать не только знание известных методов решения уравнений или преобразования выражений, но и умение проанализировать условие, соотнести данные и требования задания, вывести из условия различные следствия и т. п., то есть показать определенный уровень развития математического мышления.
Таким образом, при обучении хорошо успевающих учащихся нужно не только позаботиться об усвоении базовой составляющей курса алгебры и начал анализа, (усвоение изученных правил, формул, методов), но и о реализации одной из главных целей обучения математике – развитию мышления учащихся, в частности, математического мышления. Для реализации поставленной цели могут служить элективные курсы.
Действительно, учащиеся общеобразовательных учреждений традиционно знакомятся при изучении математики с графическим методом решения уравнений, неравенств и их систем. Однако в последние годы в содержании обучения математике появляются новые классы уравнений (неравенств) и новые функциональные методы их решения. Тем не менее, содержащиеся в контрольно-измерительных материалах единого государственного экзамена (ЕГЭ) задания (так называемые комбинированные уравнения), решения которых требуют применения только функционально-графического метода, вызывают у учащихся затруднения.
1. Общая теоретическая часть
Пусть X и Y - два произвольных численных множества. Элементы этих множеств будем обозначать х и у соответственно и будем называть переменными.
Определение. Числовой функцией, определенной на множестве Х и принимающей значения во множестве Y, называется соответствие (правило, закон), которое каждому х из множества Х сопоставляет одно и только одно значение у из множества Y.
Переменную х называют независимой переменной или аргументом , а переменную у – зависимой переменной. Говорят также, что переменная у является функцией от переменной х. Значения зависимой переменной называют значениями функции.
Введенное понятие числовой функции является частным случаем общего понятия функции как соответствия между элементами двух или более произвольных множеств.
Пусть Х и Y – два произвольных множества.
Определение. Функцией, определенной на множестве Х и принимающей значения во множестве Y, называется соответствие, соотносящее с каждым элементом множества Х один и только один элемент из множества Y.
Определение. Задать функцию – это значит указать область ее определения и соответствие (правило), при помощи которого по данному значению независимой переменной находятся соответствующие ему значения функции.
С понятием функции связаны два способа решения уравнений: графический и функциональный. Частным случаем функционального метода является метод функциональной , или универсальной подстановки .
Определение. Решить данное уравнение – значит найти множество всех его корней (решений). Множество корней (решений) может быть пустым, конечным или бесконечным. В следующих главах теоретического раздела мы разберем вышеописанные способы решения уравнений, а в разделе «Практикум» покажем их применение в различных ситуациях.
1.1. Графический метод.
На практике для построения графика некоторых функций составляют таблицу значений функции для некоторых значений аргумента, затем наносят соответствующие точки на координатную плоскость и последовательно соединяют их линией. При этом предполагается, что точки достаточно точно показывают ход изменения функции.
Определение. Графиком функции y = f(x) называется множество всех точек
{x, f(x) | x https://pandia.ru/text/78/500/images/image024_0.jpg" width="616" height="403">
Точка пересечения графиков имеет координаты (0,5; 0). Следовательно, х=0,5
Ответ: х=0,5
Пример 2.
10| sinx|=10| cosx|-1
Данное уравнение рационально решать графоаналитическим методом.
Т. к. 10>1, то данное уравнение равносильно следующему:
Точки пересечения графиков имеют координаты ();. Следовательно, х=.
Ответ: х=
1.2. Функциональный метод
Не всякое уравнение вида f(x)=g(x) в результате преобразований может быть приведено к уравнению того или иного стандартного вида, для которого подходят обычные методы решения. В таких случаях имеет смысл использовать такие свойства функций f(x) и g(x) как монотонность, ограниченность, четность, периодичность и др. Так, если одна из функций возрастает, а другая убывает на определенном промежутке, то уравнение f(x) = g(x) не может иметь более одного корня, который, в принципе, можно найти подбором. Далее, если функция f(x) ограничена сверху, а функция g(x) – снизу так, что f(x)мах =А g(x)м in =A, то уравнение f(x)=g(x) равносильно системе уравнений
Также при использовании функционального метода рационально использовать некоторые теоремы, приведенные ниже. Для их доказательства и использования необходимы следующие уравнения общего вида:
(2)
Теорема 1. Корни уравнения (1) являются корнями уравнения (2).
Теорема 2.
Если f(x) – возрастающая функция на интервале a Из последней теоремы вытекают следствие, также используемое в решениях: Следствие 1
. Если f(x) возрастает на всей своей области определения, то на данном интервале уравнения (1) и (2) равносильны. Если f(x) убывает на всей своей области определения, n - нечетное, то на данном интервале уравнения (1) и (2) равносильны. Теорема 3.
Если в уравнении f(x)=g(x) при любом допустимом х выполняются условия f(x)≥a, g(x)≤a, где а – некоторое действительное число, то дано уравнение равносильно системе Следствие 2
. Если в уравнении f(x)+g(x)=a+b при любом допустимом х f(x)≤a, g(x)≤b, то данное уравнение равносильно системе Функциональный метод решения уравнений часто используется в комбинации с графическим, так как оба эти метода основаны на одних свойствах функций. Иногда комбинацию этих методов называют графоаналитическим
методом. Пример 1.
coshttps://pandia.ru/text/78/500/images/image033_3.gif" width="64" height="41 src=">≤1 x2+1≥1 => coshttps://pandia.ru/text/78/500/images/image035_3.gif" width="121" height="48"> => x=π, при k=0 Ответ:
x=π Частным случаем функционального метода является метод функциональной подстановки – самый, пожалуй, распространенный метод решения сложных задач математики. Суть метода состоит в введении новой переменной y=ƒ(x), применение которой приводит к более простому выражению. Отдельным случаем функциональной подстановки является тригонометрическая подстановка. R(sinkx
, cosnx
, tgmx
, ctglx
) = 0 (3) где R – рациональная функция, k,
n,
m,
l
ÎZ, с помощью тригонометрических формул двойного и тройного аргумента, а также формул сложения можно свести к рациональному уравнению относительно аргументов sinx
, cosx
, tgx
, ctgx
, после чего уравнение (3) может быть сведено к рациональному уравнению относительно t=tg(x
/2) c помощью формул универсальной тригонометрической подстановки 2tg(x/2) 1-tg²(x/2) Sinx
= cosx
= 1+tg²(x/2) 1+tg²(x/2) 2tg(x/2) 1-tg²(x/2) Tgx
= ctgx
= 1-tg²(x/2) 2tg(x/2) Следует отметить, что применение формул (4) может приводить к сужению ОДЗ исходного уравнения, поскольку tg(x/2) не определен в точках x=π+2πk, kÎZ, поэтому в таких случаях нужно проверять, являются ли углы x=π+2πk, kÎZ корнями исходного уравнения. Пример 1.
sinx
+√2-sin²x
+ sinx
√2-sin²x
= 3
Пусть теперь r = u+v и s=uv, тогда из системы уравнений следует Поскольку, u = sinx
и u = 1, то sinx
= 1 и x = π/2+2πk, kÎZ
Ответ:
x = π/2+2πk, kÎZ Пример 2.
5
sinx
-5
tgx
+4(1-
cosx
)=0
sinx
+
tgx
Данное уравнении рационально решать методом функциональной подстановки. Так как tgx
не определен при x = π/2+πk, kÎZ
, а sinx
+tgx
=0 при x = πk, kÎZ
, то углы x = πk/2, kÎZ
не входят в ОДЗ уравнения. Используем формулы тангенса половинного угла и обозначим t=tg(x
/2), при этом по условию задачи t≠0;±1, тогда получим https://pandia.ru/text/78/500/images/image055_2.gif" width="165"> +4 1- =0 Так как t≠0;±1, то данное уравнение равносильно уравнению 5t² + = 0 ó-5-5t² + 8 = 0 откуда t = ± ..gif" width="27" height="47"> +2πk, kÎZ
Пример 3.
tgx
+
ctgx
+
tg²
x
+
ctg²
x
+
tg³
x
+
ctg³
x
=6
Данное уравнение рационально решать методом функциональной подстановки. Пусть y=tgx
+ctgx
, тогда tg²x
+ctg²x
=y²-2, tg³x
+ctg³x
=y³-3y Так как tgx
+ctgx
=2, то tgx
+1/ tgx
=2. Отсюда следует, что tgx
=1 и x = π/4+πk, kÎZ
Ответ:
x = π/2+2πk, kÎZ
2. Решение уравнений и неравенств с использованием свойств входящих в них функций
2.
1. Использование ОДЗ.
Иногда знание ОДЗ позволяет доказать, что уравнение (или неравенство) не имеет решений, а иногда позволяет найти решения уравнения (или неравенства) непосредственной подстановкой чисел из ОДЗ. Пример 1.
Решить уравнение Решение. ОДЗ этого уравнения состоит из всех х, одновременно удовлетворяющих условиям 3-х0 и х-3>0, то есть ОДЗ есть пустое множество. Этим решение уравнения и завершается, так как установлено, что ни одно число не может являться решением, то есть, что уравнение не имеет корней. Ответ: решений нет. Пример 2.
Решить уравнение (1) Решение. ОДЗ этого уравнения состоит из всех х, одновременно удовлетворяющих условиям то есть ОДЗ есть Подставляя эти значения х в уравнение (1), получаем, что его левая и правая части равны 0, а это означает, что все https://pandia.ru/text/78/500/images/image065_2.gif" width="93 height=21" height="21"> Пример 3.
Решить неравенство Решение. ОДЗ неравенства (2) состоит из всех х, одновременно удовлетворяющих условиям то есть ОДЗ состоит из двух чисел и . Подставляя в неравенство (2) , получаем, что его левая часть равна 0, правая равна https://pandia.ru/text/78/500/images/image070_1.gif" width="53" height="23">.gif" width="117 height=41" height="41">. Ответ: х=1. Пример 4.
Решить неравенство (3) Решение. ОДЗ неравенства (3) есть все х, удовлетворяющие условию 0<х1. Ясно, что х=1 не является решением неравенства (3). Для х из промежутка 0 Ответ: 0 Пример 5.
Решить неравенство Решение..gif" width="73" height="19"> и . Для х из промежутка https://pandia.ru/text/78/500/images/image082_1.gif" width="72" height="24 src=">.gif" width="141 height=24" height="24"> на этом промежутке, и поэтому неравенство (4) не имеет решений на этом промежутке. Пусть х принадлежит промежутку , тогда и https://pandia.ru/text/78/500/images/image087_1.gif" width="141 height=24" height="24"> для таких х, и, значит, на этом промежутке неравенство (4) также не имеет решений. Итак, неравенство (4) решений не имеет. Ответ: решений нет. Замечания. При решении уравнений необязательно находить ОДЗ. Иногда проще перейти к следствию и проверить найденные корни. При решении неравенств иногда можно не находить ОДЗ, а решать неравенство переходом к равносильной ему системе неравенств, в которой либо одно из неравенств не имеет решений, либо знание его решения помогает решить систему неравенств. Пример 6.
Решить неравенство Решение. Отыскание ОДЗ неравенства есть непростая задача, поэтому поступим иначе. Неравенство (5) равносильно системе неравенств (6) Третье неравенство этой системы равносильно неравенству , не имеющему решений. Следовательно, система неравенств (6) не имеет решений, значит, и неравенство(5) не имеет решений. Ответ: решений нет. Пример 7.
Решить неравенство . (7) Решение. Нахождение ОДЗ неравенства (7) есть трудная задача. Поэтому поступим иначе. Неравенство (7) равносильно системе неравенств (8)1.3. Метод функциональной подстановки
Тригонометрическое уравнение вида
Похожие статьи
-
Как писать в саппорт яндекса в новом вебмастере Письмо платону яндекс
Как написать в Яндекс поддержку? Развитие сайтов зависит от многих факторов, в том числе и от того, как к ресурсу относятся поисковые системы. Нередко приходится наблюдать в статистике, как падают позиции площадки, вылетают некоторые
-
Параметры размещения контейнеров float и clear в CSS — инструменты блочной верстки
Пару лет назад, когда разработчики впервые начали переходить к HTML-разметке без таблиц, CSS свойство float внезапно взяло на себя очень важную роль. Причина того, что свойство float стало так распространено, состояла в том, что по...
-
Как заработать с помощью мобильного приложения Advertapp?
Здравствуйте! В этой статье мы поговорим про заработок на AdvertApp. Сколько можно заработать: до 50 рублей в день. Минимальные требования : наличие телефона и интернета. Стоит ли заниматься: только реферальной системой . Краткий обзор...
-
Сервисы распознования капчи
Масштабное обновление программы XRumer, в котором значительно эволюционировала логика регистрации профилей на самых разных платформах, улучшена работа с платформами Bitrix, Joomla, WordPress Forum, MyBB, VBulletin, XenForo, добавлен...
-
Чтобы клиент не заблудился: создаем меню группы ВК Как сделать интерактивное меню в контакте
На вопрос «как создать меню для группы ВКонтакте» есть три основных варианта ответа: заказать у специалиста, создать с помощью онлайн-конструктора или повозиться, вникнуть в некоторые тонкости вопроса и сделать все самостоятельно.В этой...
-
Что такое электронные деньги Еasypay Как создать электронный кошелек easypay в беларуси
Здравствуйте, уважаемые читатели блога сайт. Сегодня я хочу продолжить обзор , которые в той или иной степени популярны и используются в рунете. Ранее я ориентировался в основном на Россию, ибо сам являюсь гражданином этой страны, но рунет...