Плотность распределения вероятности случайной величины. Плотность вероятности непрерывной случайной величины, ее определение, свойства и график. Типовые распределения дискретных случайных величин
Случайной величиной называется переменная, которая может принимать те или иные значения в зависимости от различных обстоятельств, и случайная величина называется непрерывной , если она может принимать любое значение из какого-либо ограниченного или неограниченного интервала. Для непрерывной случайной величины невозможно указать все возможные значения, поэтому обозначают интервалы этих значений, которые связаны с определёнными вероятностями.
Примерами непрерывных случайных величин могут служить: диаметр детали, обтачиваемой до заданного размера, рост человека, дальность полёта снаряда и др.
Так как для непрерывных случайных величин функция F (x ), в отличие от дискретных случайных величин , нигде не имеет скачков, то вероятность любого отдельного значения непрерывной случайной величины равна нулю.
Это значит, что для непрерывной случайной величины бессмысленно говорить о распределении вероятностей между её значениями: каждое из них имеет нулевую вероятность. Однако в некотором смысле среди значений непрерывной случайной величины есть "более и менее вероятные". Например, вряд ли у кого-либо возникнет сомнение, что значение случайной величины - роста наугад встреченного человека - 170 см - более вероятно, чем 220 см, хотя и одно, и другое значение могут встретиться на практике.
Функция распределения непрерывной случайной величины и плотность вероятности
В качестве закона распределения, имеющего смысл только для непрерывных случайных величин, вводится понятие плотности распределения или плотности вероятности. Подойдём к нему путём сравнения смысла функции распределения для непрерывной случайной величины и для дискретной случайной величины.
Итак, функцией распределения случайной величины (как дискретной, так и непрерывной) или интегральной функцией называется функция , которая определяет вероятность, что значение случайной величины X меньше или равно граничному значению х .
Для дискретной случайной величины в точках её значений x 1 , x 2 , ..., x i ,... сосредоточены массы вероятностей p 1 , p 2 , ..., p i ,... , причём сумма всех масс равна 1. Перенесём эту интерпретацию на случай непрерывной случайной величины. Представим себе, что масса, равная 1, не сосредоточена в отдельных точках, а непрерывно "размазана" по оси абсцисс Оx с какой-то неравномерной плотностью. Вероятность попадания случайной величины на любой участок Δx будет интерпретироваться как масса, приходящаяся на этот участок, а средняя плотность на этом участке - как отношение массы к длине. Только что мы ввели важное понятие теории вероятностей: плотность распределения.
Плотностью вероятности f (x ) непрерывной случайной величины называется производная её функции распределения:
.
Зная функцию плотности, можно найти вероятность того, что значение непрерывной случайной величины принадлежит закрытому интервалу [a ; b ]:
вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет какое-либо значение из интервала [a ; b ], равна определённому интегралу от её плотности вероятности в пределах от a до b :
.
При этом общая формула функции F (x ) распределения вероятностей непрерывной случайной величины, которой можно пользоваться, если известна функция плотности f (x ) :
.
График плотности вероятности непрерывной случайной величины называется её кривой распределения (рис. ниже).
Площадь фигуры (на рисунке заштрихована), ограниченной кривой, прямыми, проведёнными из точек a и b перпендикулярно оси абсцисс, и осью Ох , графически отображает вероятность того, что значение непрерывной случайной величины Х находится в пределах от a до b .
Свойства функции плотности вероятности непрерывной случайной величины
1. Вероятность того, что случайная величина примет какое-либо значение из интервала (и площадь фигуры, которую ограничивают график функции f (x ) и ось Ох ) равна единице:
2. Функция плотности вероятности не может принимать отрицательные значения:
а за пределами существования распределения её значение равно нулю
Плотность распределения f (x ), как и функция распределения F (x ), является одной из форм закона распределения, но в отличие от функции распределения, она не универсальна: плотность распределения существует только для непрерывных случайных величин.
Упомянем о двух важнейших в практике видах распределения непрерывной случайной величины.
Если функция плотности распределения f (x ) непрерывной случайной величины в некотором конечном интервале [a ; b ] принимает постоянное значение C , а за пределами интервала принимает значение, равное нулю, то такое распределение называется равномерным .
Если график функции плотности распределения симметричен относительно центра, средние значения сосредоточены вблизи центра, а при отдалении от центра собираются более отличающиеся от средних (график функции напоминает разрез колокола), то такое распределение называется нормальным .
Пример 1. Известна функция распределения вероятностей непрерывной случайной величины:
Найти функцию f (x ) плотности вероятности непрерывной случайной величины. Построить графики обеих функций. Найти вероятность того, что непрерывная случайная величина примет какое-либо значение в интервале от 4 до 8: .
Решение. Функцию плотности вероятности получаем, находя производную функции распределения вероятностей:
График функции F (x ) - парабола:
График функции f (x ) - прямая:
Найдём вероятность того, что непрерывная случайная величина примет какое либо значение в интервале от 4 до 8:
Пример 2. Функция плотности вероятности непрерывной случайной величины дана в виде:
Вычислить коэффициент C . Найти функцию F (x ) распределения вероятностей непрерывной случайной величины. Построить графики обеих функций. Найти вероятность того, что непрерывная случайная величина примет какое-либо значение в интервале от 0 до 5: .
Решение. Коэффициент C найдём, пользуясь свойством 1 функции плотности вероятности:
Таким образом, функция плотности вероятности непрерывной случайной величины:
Интегрируя, найдём функцию F (x ) распределения вероятностей. Если x < 0 , то F (x ) = 0 . Если 0 < x < 10 , то
.
x > 10 , то F (x ) = 1 .
Таким образом, полная запись функции распределения вероятностей:
График функции f (x ) :
График функции F (x ) :
Найдём вероятность того, что непрерывная случайная величина примет какое либо значение в интервале от 0 до 5:
Пример 3. Плотность вероятности непрерывной случайной величины X задана равенством , при этом . Найти коэффициент А , вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет какое-либо значение из интервала ]0, 5[, функцию распределения непрерывной случайной величины X .
Решение. По условию приходим к равенству
Следовательно, , откуда . Итак,
.
Теперь находим вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет какое-либо значение из интервала ]0, 5[:
Теперь получим функцию распределения данной случайной величины:
Пример 4. Найти плотность вероятности непрерывной случайной величины X , которая принимает только неотрицательные значения, а её функция распределения .
Непрерывную с. в. можно задать, используя функцию, которую называют плотностью распределения или плотностью вероятности, или дифференциальной функцией распределения.
Плотностью распределения вероятностей непрерывной с. в. Х называют функцию f(x) – первую производную от функции распределения F(x):
Из этого определения следует, что функция распределения является первообразной для плотности распределения.
Для описания распределения вероятностей дискретной с. в. плотность распределения не применима.
Вероятностный смысл плотности распределения.
Таким образом, предел отношения вероятности того, что непрерывная с. в. примет значение, принадлежащее интервалу (x, x +∆x), к длине этого интервала (при ∆x → 0) равен значению плотности распределения в точке х.
Функция плотности характеризует каждое значение непрерывной случайной величины в отдельности, а не целый диапазон как это имеет место для функции распределения.
Вероятность попадания непрерывной с. в. в заданный интервал.
По формуле Ньютона – Лейбница:
P{a < X b}= F(b) – F(a),
таким образом
Нахождение функции распределения по известной функции плотности.
Полагая в предыдущей формуле а = -∞, b = х, и заменив переменную интегрирования х на t имеем:
F(х) = P{X х}=P{-∞< X х},
следовательно
Свойства плотности распределения
Свойство 1. Плотность распределения – неотрицательная функция: f(x)0 (т.к. интегральная функция распределения – неубывающая функция, а плотность распределения ее первая производная).
Свойство 2:
Доказательство.
Несобственный интеграл
выражает вероятность события, состоящего
в том, что случайная величина примет
значение, принадлежащая интервалу (-∞,
∞). Очевидно, такое событие достоверно,
следовательно, вероятность его равна
единице.
Геометрически это означает, что вся площадь криволинейной трапеции, ограниченной осью 0х и кривой распределения, равна единице.
Вчастности, если все возможные значения
случайной величины принадлежат интервалу
(а,b),
то
.
Возможный график плотности распределения (пример)
f 1 (x) – плотность распределения размера выигрыша в 1-й игре
f 2 (x) – плотность распределения размера выигрыша во 2-ой игре
Какая игра предпочтительней?
Числовые характеристики случайных величин. .
Данные характеристики позволяют решать многие задачи, не зная закона распределения случайных величин.
Характеристики положения случайной величины на числовой оси.
Математическое ожидание это есть среднее взвешенное значений случайной величины Х, в которое абсцисса каждой точки х i входит с «весом», равным соответствующей вероятности.
Математическое ожидание иногда называют просто средним значением с.в.
Обозначение: m x или M [X].
Для дискретной случайной величины
M
[X]
=
Для непрерывной случайной величины
Мода – это наиболее вероятное значение случайной величины (то для которого вероятность p i , или плотность распределения f(x) достигает максимума).
Обозначение:
Различают унимодальные распределения (имеют одну моду), полимодальные распределения (имеют несколько мод) и анимодальные (не имеют моды)
унимодальное
Медиана – это такое значение случайной величины х m , для которого выполняется следующее равенство:
P{X < х m }= P{X > х m }
Медиана делит площадь,ограниченную f(x), пополам
Если плотность распределения случайной величины симметрична и унимодальна, то М[X], и х m совпадают
М[X], , х m – неслучайные величины
Пусть $X$ -- непрерывная случайная величина с функцией распределения вероятностей $F(x)$. Напомним определение функции распределения:
Определение 1
Функцией распределения называется функция $F(x)$ удовлетворяющая условию $F\left(x\right)=P(X
Так как случайная величина является непрерывной, то, как нам уже известно, функция распределения вероятностей $F(x)$ будет непрерывной функцией. Пусть $F\left(x\right)$ также дифференцируема на всей области определения.
Рассмотрим интервал $(x,x+\triangle x)$ (где $\triangle x$ - приращение величины $x$). На нем
Теперь устремляя значения приращения $\triangle x$ к нулю, получим:
Рисунок 1.
Таким образом, получаем:
Плотность распределения, как и функция распределения, - это одна из форм закона распределения случайной величины. Однако закон распределения может быть записан через плотность распределения только для непрерывных случайных величин.
Определение 3
Кривая распределения -- это график функции $\varphi \left(x\right)$ плотность распределения случайной величины (рис.1).
Рисунок 2. График плотности распределения.
Геометрический смысл 1: Вероятность попадания непрерывной случайной величины в интервал $(\alpha ,\beta)$ равна площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции распределения $\varphi \left(x\right)$ и прямыми $x=\alpha ,$ $x=\beta $ и $y=0$ (рис. 2).
Рисунок 3. Геометрическое изображение вероятности попадания непрерывной случайной величины в интервал $(\alpha ,\beta)$.
Геометрический смысл 2: Площадь бесконечной криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции распределения $\varphi \left(x\right)$, прямой $y=0$ и переменной прямой $x$ есть ни что иное как функция распределения $F(x)$(рис. 3).
Рисунок 4. Геометрическое изображение функции вероятности $F(x)$ через плотность распределения $\varphi \left(x\right)$.
Пример 1
Пусть функция распределения $F(x)$ случайной величины $X$ имеет следующий вид.
Функция распределения является наиболее общей формой задания закона распределения. Она используется для задания как дискретных, так и непрерывных случайных величин. Обычно ее обозначают .Функция распределения определяет вероятность того, что случайная величина принимает значения, меньшие фиксированного действительного числа, т. е.. Функция распределения полностью характеризует случайную величину с вероятностной точки зрения. Ее еще называют интегральной функцией распределения.
Геометрическая интерпретация функции распределения очень проста. Если случайную величину рассматривать как случайную точку оси(рис. 6), которая в результате испытания может занять то или иное положение на этой оси, то функция распределенияесть вероятность того, что случайная точкав результате испытания попадет левее точки.
Для дискретной случайной величины , которая может принимать значения,, … ,, функция распределения имеет вид
,
где неравенство под знаком суммы означает, что суммирование распространяется на все те значения, которые по своей величине меньше. Из этой формулы следует, что функция распределения дискретной случайной величиныразрывна и возрастает скачками при переходе через точки,, … ,, причем величина скачка равна вероятности соответствующего значения (рис. 7). Сумма всех скачков функции распределения равна единице.
Непрерывная случайная величина имеет непрерывную функцию распределения, график этой функции имеет форму плавной кривой (рис. 8).
Рис. 7. Рис. 8.
Рассмотрим общие свойства функций распределения.
Свойство 1. Функция распределения есть неотрицательная функция, заключенная между нулем и единицей:
Справедливость этого свойства вытекает из того, что функция распределения определена как вероятность случайного события, состоящего в том, что.
Свойство 2. Вероятность попадания случайной величины в интервал равна разности значений функции распределения на концах этого интервала, т. е.
Отсюда следует, что вероятность любого отдельного значения непрерывной случайной величины равна нулю.
Свойство 3. Функция распределения случайной величины есть неубывающая функция, т. е. при .
Свойство 4. На минус бесконечности функция распределения рана нулю, а на плюс бесконечности функция распределения рана единице, т. е. ,.
Пример 1. Функция распределения непрерывной случайной величины задана выражением
Найти коэффициент и построить график. Определить вероятность того, что случайная величинав результате опыта примет значение на интервале.
Решение. Так как функция распределения непрерывной случайной величины непрерывна, то приполучим:. Отсюда. График функцииизображен на рис. 9.
Исходя из второго свойства функции распределения, имеем:
.
4. Плотность распределения вероятности и ее свойства.
Функция распределения непрерывной случайной величины является ее вероятностной характеристикой. Но она имеет недостаток, заключающийся в том, что по ней трудно судить о характере распределения случайной величины в небольшой окрестности той или другой точки числовой оси. Более наглядное представление о характере распределения непрерывной случайной величины дает функция, которая называется плотностью распределения вероятности или дифференциальной функцией распределения случайной величины.
Плотность распределения равна производной от функции распределения, т. е.
.
Смысл плотности распределения состоит в том, что она указывает на то, как часто появляется случайная величинав некоторой окрестности точкипри повторении опытов. Кривая, изображающая плотность распределенияслучайной величины, называетсякривой распределения .
Рассмотрим свойства плотности распределения.
Свойство 1. Плотность распределения неотрицательна, т. е.
Свойство 2. Функция распределения случайной величины равна интегралу от плотности в интервале от до, т. е.
.
Свойство 3. Вероятность попадания непрерывной случайной величины на участокравна интегралу от плотности распределения, взятому по этому участку, т. е.
.
Свойство 4. Интеграл в бесконечных пределах от плотности распределения равен единице:
.
Пример 2. Случайная величина подчинена закону распределения с плотностью
Определить коэффициент ; построить график плотности распределения; найти вероятность попадания случайной величины на участок отдо; определить функцию распределения и построить ее график.
Решение. Площадь, ограниченная кривой распределения, численно равна
.
Учитывая свойство 4 плотности распределения, находим: . Следовательно, плотность распределения может быть выражена так:
График плотности распределения изображен на рис. 10. По свойству 3 имеем
.
Для определения функции распределения воспользуемся свойством 2:
.
Таким образом, имеем
График функции распределения изображен на рис. 11.
Плотность вероятности непрерывной случайной величины, ее определение, свойства и график.
Про случайную
величину Х говорят, что она имеет
распределение (распределена) с плотностью
на определенном участке оси абсцисс.
Плотность вероятности
,
как и функция распределения F(x), является
одной из форм закона распределения, но
в отличие от функции распределения она
существует толькодля
непрерывных
случайных
величин
.
Плотность вероятности иногда называют
дифференциальной
функцией
или дифференциальным
законом распределения
.
График плотности вероятности
называетсякривой
распределения
.
Свойства плотности вероятности непрерывной случайной величины.
☺
как
производная монотонно неубывающей
функции F(х).
☻
☺
Согласно свойству
4 функции распределения
.
Так как F(x) - первообразная для плотности
вероятности
(т.к.
,
то по формуле Ньютона-Лейбница приращение
первообразной на отрезке [а,b]
– определенный интеграл
.
☻
Геометрически полученная вероятность равна площади фигуры, ограниченной сверху кривой распределения и опирающейся на отрезок [а,b] (рис. 3.8).
Функция распределения непрерывной случайной величины может быть выражена через плотность вероятности по формуле :
.
Геометрически функция распределения равна площади фигуры, ограниченной сверху кривой распределения и лежащей левее точки х (рис. 3.9).
Геометрически свойства 1 и 4 плотности вероятности означают, что ее график - кривая распределения - лежит не ниже оси абсцисс, и полная площадь фигуры, ограниченной кривой распределения и осью абсцисс, равна единице.
Случайная величина, распределенная по биномиальному закону, ее математическое ожидание и дисперсия. Закон распределения Пуассона.
Определение . Дискретная случайная величина Х имеет биномиальный закон распределения с параметрами npq, если она принимает значения 0, 1, 2,..., m,... ,n с вероятностями
где 0<р Как видим, вероятности
Р(Х=m)
находятся по формуле Бернулли,
следовательно, биномиальный закон
распределения представляет собой закон
распределения числа Х=m
наступлений события А в n независимых
испытаниях, в каждом из которых оно
может произойти с одной и той же
вероятностью р. Ряд распределения
биномиального закона имеет вид: Очевидно, что
определение биномиального закона
корректно, т.к. основное свойство ряда
распределения
Математическое
ожидание
случайной величины Х, распределенной
по биноминальному закону, а ее дисперсия
Определение
.
Дискретная
случайная величина Х имеет закон
распределения Пуассона
с параметром λ > 0, если она принимает
значения 0, 1, 2,..., m,
... (бесконечное, но счетное множество
значений) с вероятностями Ряд распределения
закона Пуассона имеет вид: Очевидно, что
определение закона Пуассона корректно,
так как основное свойство ряда
распределения
На рис. 4.1 показан
многоугольник (полигон) распределения
случайной величины, распределенной по
закону Пуассона Р(Х=m)=Р m (λ)
с параметрами λ
= 0,5, λ
= 1, λ
= 2, λ
= 3,5. Теорема
.
Математическое
oжидaниe и дисперсия
случайной величины, распределенной по
закону Пуассона, совпадают и равны
параметру λ
этого закона, т.е. и
выполнено, ибоесть не что иное, как сумма всех членов
разложения бинома Ньютона:
,
выполнено,
ибо сумма ряда.
Похожие статьи
-
Как писать в саппорт яндекса в новом вебмастере Письмо платону яндекс
Как написать в Яндекс поддержку? Развитие сайтов зависит от многих факторов, в том числе и от того, как к ресурсу относятся поисковые системы. Нередко приходится наблюдать в статистике, как падают позиции площадки, вылетают некоторые
-
Параметры размещения контейнеров float и clear в CSS — инструменты блочной верстки
Пару лет назад, когда разработчики впервые начали переходить к HTML-разметке без таблиц, CSS свойство float внезапно взяло на себя очень важную роль. Причина того, что свойство float стало так распространено, состояла в том, что по...
-
Как заработать с помощью мобильного приложения Advertapp?
Здравствуйте! В этой статье мы поговорим про заработок на AdvertApp. Сколько можно заработать: до 50 рублей в день. Минимальные требования : наличие телефона и интернета. Стоит ли заниматься: только реферальной системой . Краткий обзор...
-
Сервисы распознования капчи
Масштабное обновление программы XRumer, в котором значительно эволюционировала логика регистрации профилей на самых разных платформах, улучшена работа с платформами Bitrix, Joomla, WordPress Forum, MyBB, VBulletin, XenForo, добавлен...
-
Чтобы клиент не заблудился: создаем меню группы ВК Как сделать интерактивное меню в контакте
На вопрос «как создать меню для группы ВКонтакте» есть три основных варианта ответа: заказать у специалиста, создать с помощью онлайн-конструктора или повозиться, вникнуть в некоторые тонкости вопроса и сделать все самостоятельно.В этой...
-
Что такое электронные деньги Еasypay Как создать электронный кошелек easypay в беларуси
Здравствуйте, уважаемые читатели блога сайт. Сегодня я хочу продолжить обзор , которые в той или иной степени популярны и используются в рунете. Ранее я ориентировался в основном на Россию, ибо сам являюсь гражданином этой страны, но рунет...